io leontief

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0Awith%20app.setup%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20REGIONS%20%3D%20%5B%22Europe%22%2C%20%22Asia%22%2C%20%22Americas%22%5D%0A%20%20%20%20PRODUCTS%20%3D%20%5B%22cement%22%2C%20%22electricity%22%2C%20%22services%22%5D%0A%20%20%20%20SECTORS%20%3D%20%5Bf%22%7Br%7D%20%7Bp%7D%22%20for%20r%20in%20REGIONS%20for%20p%20in%20PRODUCTS%5D%20%20%23%20region-major%2C%20like%20RaMa-Scene's%20rows%0A%20%20%20%20SEED%20%3D%2020260926%0A%20%20%20%20N_SECTORS%2C%20N_REGIONS%20%3D%20len(SECTORS)%2C%20len(REGIONS)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Input-output%20analysis%20in%20the%20browser%3A%20the%20Leontief%20model%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20runs%20entirely%20in%20your%20browser%20(Python%20compiled%20to%20WebAssembly).%0A%20%20%20%20It%20works%20through%20the%20calculation%20behind%20environmentally%20extended%0A%20%20%20%20input-output%20(EEIO)%20tools%20such%20as%20RaMa-Scene%2C%20on%20an%20economy%20small%20enough%0A%20%20%20%20to%20read%3A%203%20regions%20%C3%97%203%20products%20%3D%209%20sectors.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Learning%20goals%0A%0A%20%20%20%20-%20Read%20the%20technical%20coefficient%20matrix%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20and%20the%20final%20demand%20vector%20%24%5Cmathbf%7By%7D%24%20of%20a%20small%20multi-regional%20economy.%0A%20%20%20%20-%20Calculate%20total%20product%20output%20with%20the%20Leontief%20quantity%20model%2C%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20(%5Cmathbf%7BI%7D%20-%20%5Cmathbf%7BA%7D)%5E%7B-1%7D%5Cmathbf%7By%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20Calculate%20the%20carbon%20footprint%20of%20final%20demand%20from%20the%20emission%20intensity%20vector%20%24%5Cmathbf%7Be%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20Build%20a%20scenario%20that%20changes%20one%20technical%20coefficient%20and%20one%20final%20demand%2C%20and%20compare%20it%20with%20the%20baseline.%0A%20%20%20%20-%20Check%20the%20result%20with%20the%20self-checks%20a%20real%20engine%20should%20pass%20on%20every%20run.%0A%0A%20%20%20%20The%20notation%20follows%20Miller%20and%20Blair%20(2009)%2C%20*Input-Output%20Analysis%3A%0A%20%20%20%20Foundations%20and%20Extensions*%2C%202nd%20edition.%20Bold%20capitals%20are%20matrices%2C%20bold%0A%20%20%20%20lower%20case%20letters%20are%20column%20vectors%2C%20a%20prime%20(%24%5Cmathbf%7Be%7D'%24)%20is%20a%20transpose%2C%0A%20%20%20%20and%20a%20hat%20(%24%5Chat%7B%5Cmathbf%7Be%7D%7D%24)%20puts%20a%20vector%20on%20the%20diagonal%20of%20a%20matrix.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20A%20small%20synthetic%20economy%0A%0A%20%20%20%20The%20economy%20has%20three%20inputs%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%2C%20the%20technical%20coefficient%20matrix.%20%24A_%7Bij%7D%24%20is%20the%20input%20from%0A%20%20%20%20%20%20sector%20%24i%24%20that%20sector%20%24j%24%20needs%20to%20make%20one%20euro%20of%20output.%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7By%7D%24%2C%20the%20final%20demand%20vector.%20%24y_i%24%20is%20what%20households%2C%0A%20%20%20%20%20%20governments%20and%20investment%20buy%20from%20sector%20%24i%24%2C%20in%20M%20EUR.%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7Be%7D%24%2C%20the%20emission%20intensity%20vector.%20%24e_i%24%20is%20the%20emissions%20of%0A%20%20%20%20%20%20sector%20%24i%24%20per%20M%20EUR%20of%20output%2C%20in%20kt%20CO2-eq.%0A%0A%20%20%20%20Sectors%20are%20ordered%20region%20by%20region%3A%20the%20three%20European%20products%20first%2C%0A%20%20%20%20then%20Asia%2C%20then%20the%20Americas.%0A%0A%20%20%20%20The%20numbers%20are%20random%2C%20not%20real%20data.%20The%20generator%20borrows%20its%20recipe%0A%20%20%20%20from%20the%20%5BRaMa-Scene%20regression%20harness%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fsimonvanlierde%2Framascene%2Fblob%2Fmain%2Framascene%2Ftests%2Ftest_engine_regression.py)%2C%0A%20%20%20%20which%20is%20public%20on%20a%20fork%3A%20a%20seeded%20%60numpy.random.default_rng%60%20and%20a%20dense%2C%0A%20%20%20%20non-symmetric%20matrix.%20That%20harness%20generates%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24%20directly%3B%20here%20we%0A%20%20%20%20generate%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20and%20solve.%20A%20dense%2C%20non-symmetric%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%0A%20%20%20%20matters%3A%20a%20mix-up%20of%20rows%20and%20columns%20changes%20the%20answer%2C%20so%20the%20checks%0A%20%20%20%20below%20can%20catch%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20make_economy(seed%3DSEED)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Return%20(A%2C%20y%2C%20e)%3A%20technical%20coefficients%2C%20final%20demand%20(M%20EUR)%2C%20emission%20intensities%20(kt%20CO2-eq%20per%20M%20EUR).%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20N_SECTORS%0A%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed)%0A%20%20%20%20A%20%3D%20rng.random((n%2C%20n))%20*%200.12%20%20%23%20column%20sums%20well%20below%201%20(checked%20in%20tests)%2C%20so%20the%20economy%20is%20productive%0A%20%20%20%20y%20%3D%20rng.random(n)%20*%20100%0A%20%20%20%20e%20%3D%20rng.random(n)%20*%200.5%0A%20%20%20%20e%5B1%20%3A%3A%20len(PRODUCTS)%5D%20*%3D%204%20%20%23%20electricity%20is%20the%20most%20emission-intensive%20product%0A%20%20%20%20e%5B0%20%3A%3A%20len(PRODUCTS)%5D%20*%3D%202%20%20%23%20then%20cement%0A%20%20%20%20return%20A%2C%20y%2C%20e%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20A%2C%20y%2C%20e%20%3D%20make_economy()%0A%20%20%20%20return%20A%2C%20e%2C%20y%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A%2C%20e%2C%20mo%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Technical%20coefficient%20matrix%20A**%20(rows%3A%20supplier%2C%20columns%3A%20buyer)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%7B%22sector%22%3A%20s%2C%20**%7Bc%3A%20round(float(v)%2C%203)%20for%20c%2C%20v%20in%20zip(SECTORS%2C%20row)%7D%7D%20for%20s%2C%20row%20in%20zip(SECTORS%2C%20A)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selection%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pagination%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Final%20demand%20y**%20and%20**emission%20intensity%20e**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22sector%22%3A%20s%2C%20%22y%20(M%20EUR)%22%3A%20round(float(yi)%2C%201)%2C%20%22e%20(kt%2FM%20EUR)%22%3A%20round(float(ei)%2C%203)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20s%2C%20yi%2C%20ei%20in%20zip(SECTORS%2C%20y%2C%20e)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selection%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pagination%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20The%20Leontief%20model%0A%0A%20%20%20%20To%20deliver%20final%20demand%20%24%5Cmathbf%7By%7D%24%2C%20every%20sector%20also%20has%20to%20supply%20the%0A%20%20%20%20others.%20Total%20product%20output%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%24%20therefore%20satisfies%0A%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BA%7D%5Cmathbf%7Bx%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7By%7D%24.%20Rearranged%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20(%5Cmathbf%7BI%7D%20-%20%5Cmathbf%7BA%7D)%5E%7B-1%7D%5Cmathbf%7By%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7By%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24%20is%20the%20*Leontief%20inverse*%20(Miller%20and%20Blair%2C%202009%2C%20chapter%202).%0A%0A%20%20%20%20We%20solve%20%24(%5Cmathbf%7BI%7D%20-%20%5Cmathbf%7BA%7D)%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7By%7D%24%20with%0A%20%20%20%20%60numpy.linalg.solve%60%20instead%20of%20calculating%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24%20first.%20Solving%20is%0A%20%20%20%20faster%20and%20more%20accurate.%20The%20same%20switch%20is%20proposed%20for%20RaMa-Scene's%0A%20%20%20%20engine%20(see%20%60LeontiefSolve%60%20in%20%5B%60modelling.py%60%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fsimonvanlierde%2Framascene%2Fblob%2Fmain%2Framascene%2Fmodelling.py)).%20It%20is%20in%20the%20open%20pull%0A%20%20%20%20request%20%5B%2374%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2FCMLPlatform%2Framascene%2Fpull%2F74).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20leontief_output(A%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Total%20output%20x%20from%20(I%20-%20A)%20x%20%3D%20y%2C%20solved%20without%20forming%20the%20inverse.%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20np.linalg.solve(np.eye(len(A))%20-%20A%2C%20y)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20x%20%3D%20leontief_output(A%2C%20y)%0A%20%20%20%20return%20(x%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20x%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Final%20demand%20adds%20up%20to%20**%7By.sum()%3A.1f%7D%20M%20EUR**%3B%20the%20economy%20has%20to%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22produce%20**%7Bx.sum()%3A.1f%7D%20M%20EUR**%20in%20total%20to%20deliver%20it.%20The%20difference%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bx.sum()%20-%20y.sum()%3A.1f%7D%20M%20EUR%2C%20is%20intermediate%20production%3A%20sectors%20supplying%20each%20other.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Emissions%20and%20the%20footprint%0A%0A%20%20%20%20The%20emissions%20of%20each%20sector%20are%20its%20intensity%20times%20its%20output%2C%0A%20%20%20%20%24%5Chat%7B%5Cmathbf%7Be%7D%7D%5Cmathbf%7Bx%7D%24.%20Their%20sum%20is%20the%20carbon%20footprint%20of%20final%0A%20%20%20%20demand%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24q%20%3D%20%5Cmathbf%7Be%7D'%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7By%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7Be%7D'%5Cmathbf%7Bx%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Grouped%20by%20region%2C%20the%20sector%20emissions%20show%20*where*%20the%20emissions%20caused%0A%20%20%20%20by%20this%20demand%20happen.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20footprint(e%2C%20A%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Total%20emissions%20caused%20by%20final%20demand%20y%3A%20e'%20L%20y.%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20float(e%20%40%20leontief_output(A%2C%20y))%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20emissions_by_region(e%2C%20x%2C%20n_regions%3DN_REGIONS)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Emissions%20per%20producing%20region%3B%20rows%20are%20region-major%2C%20like%20RaMa-Scene's.%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20(e%20*%20x).reshape(n_regions%2C%20-1).sum(axis%3D1)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A%2C%20e%2C%20mo%2C%20x%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20_by_region%20%3D%20emissions_by_region(e%2C%20x)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22Baseline%20footprint%3A%20**%7Bfootprint(e%2C%20A%2C%20y)%3A.2f%7D%20kt%20CO2-eq**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22region%22%3A%20r%2C%20%22emissions%20(kt%20CO2-eq)%22%3A%20round(float(v)%2C%202)%2C%20%22share%22%3A%20f%22%7Bv%20%2F%20_by_region.sum()%3A.0%25%7D%22%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20r%2C%20v%20in%20zip(REGIONS%2C%20_by_region)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selection%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pagination%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20A%20scenario%0A%0A%20%20%20%20A%20scenario%20is%20a%20counterfactual%20version%20of%20the%20economy.%20This%20one%20changes%0A%20%20%20%20two%20numbers%2C%20each%20by%20%E2%88%9250%20%25%20to%20%2B50%20%25%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20one%20technical%20coefficient%20%24A_%7Bij%7D%24%2C%20a%20technology%20change%20(for%20example%2C%0A%20%20%20%20%20%20Asian%20cement%20needs%20less%20electricity%20per%20euro)%3B%0A%20%20%20%20-%20one%20sector's%20final%20demand%20%24y_i%24%2C%20a%20demand%20change.%0A%0A%20%20%20%20The%20scenario%20works%20on%20copies%20of%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20and%20%24%5Cmathbf%7By%7D%24%2C%20so%20the%0A%20%20%20%20baseline%20stays%20unchanged.%20RaMa-Scene%20expresses%20its%20scenarios%20the%20same%20way%3A%0A%20%20%20%20a%20percentage%20change%20to%20selected%20cells%20of%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20or%20of%20final%20demand.%0A%20%20%20%20Here%2C%20one%20cell%20of%20each.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20apply_scenario(A%2C%20y%2C%20coefficient%3D(0%2C%200)%2C%20coefficient_pct%3D0.0%2C%20demand_sector%3D0%2C%20demand_pct%3D0.0)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Copies%20of%20(A%2C%20y)%20with%20A%5Bcoefficient%5D%20and%20y%5Bdemand_sector%5D%20scaled%20by%20(1%20%2B%20pct%2F100).%22%22%22%0A%20%20%20%20A_s%2C%20y_s%20%3D%20A.copy()%2C%20y.copy()%0A%20%20%20%20A_s%5Bcoefficient%5D%20*%3D%201%20%2B%20coefficient_pct%20%2F%20100%0A%20%20%20%20y_s%5Bdemand_sector%5D%20*%3D%201%20%2B%20demand_pct%20%2F%20100%0A%20%20%20%20return%20A_s%2C%20y_s%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20supplier%20%3D%20mo.ui.dropdown(SECTORS%2C%20value%3D%22Asia%20electricity%22%2C%20label%3D%22Coefficient%3A%20supplier%22)%0A%20%20%20%20buyer%20%3D%20mo.ui.dropdown(SECTORS%2C%20value%3D%22Asia%20cement%22%2C%20label%3D%22buyer%22)%0A%20%20%20%20coefficient_pct%20%3D%20mo.ui.slider(-50%2C%2050%2C%20step%3D5%2C%20value%3D0%2C%20label%3D%22Change%20in%20A%5Bsupplier%2C%20buyer%5D%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20demand_sector%20%3D%20mo.ui.dropdown(SECTORS%2C%20value%3D%22Europe%20cement%22%2C%20label%3D%22Final%20demand%20for%22)%0A%20%20%20%20demand_pct%20%3D%20mo.ui.slider(-50%2C%2050%2C%20step%3D5%2C%20value%3D0%2C%20label%3D%22Change%20in%20final%20demand%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsupplier%2C%20buyer%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coefficient_pct%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bdemand_sector%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20demand_pct%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20buyer%2C%20coefficient_pct%2C%20demand_pct%2C%20demand_sector%2C%20supplier%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20buyer%2C%20coefficient_pct%2C%20demand_pct%2C%20demand_sector%2C%20e%2C%20supplier%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20A_s%2C%20y_s%20%3D%20apply_scenario(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficient%3D(SECTORS.index(supplier.value)%2C%20SECTORS.index(buyer.value))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficient_pct%3Dcoefficient_pct.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20demand_sector%3DSECTORS.index(demand_sector.value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20demand_pct%3Ddemand_pct.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20x_s%20%3D%20leontief_output(A_s%2C%20y_s)%0A%20%20%20%20baseline%2C%20scenario%20%3D%20footprint(e%2C%20A%2C%20y)%2C%20footprint(e%2C%20A_s%2C%20y_s)%0A%20%20%20%20return%20A_s%2C%20baseline%2C%20scenario%2C%20x_s%2C%20y_s%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(baseline%2C%20e%2C%20mo%2C%20scenario%2C%20x%2C%20x_s)%3A%0A%20%20%20%20_before%2C%20_after%20%3D%20emissions_by_region(e%2C%20x)%2C%20emissions_by_region(e%2C%20x_s)%0A%20%20%20%20_change%20%3D%20scenario%20-%20baseline%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Scenario%20footprint%3A%20**%7Bscenario%3A.2f%7D%20kt%20CO2-eq**%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22(baseline%20%7Bbaseline%3A.2f%7D%3B%20change%20%7B_change%3A%2B.3f%7D%20kt%2C%20%7B_change%20%2F%20baseline%3A%2B.2%25%7D)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22region%22%3A%20r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22baseline%22%3A%20round(float(p)%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22scenario%22%3A%20round(float(q)%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22change%22%3A%20round(float(q%20-%20p)%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20r%2C%20p%2C%20q%20in%20zip(REGIONS%2C%20_before%2C%20_after)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selection%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pagination%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Updating%20the%20baseline%20instead%20of%20re-solving%3A%20Woodbury%0A%0A%20%20%20%20On%20EXIOBASE%2C%20%24%5Cmathbf%7BI%7D%20-%20%5Cmathbf%7BA%7D%24%20has%209%20800%20rows.%20A%20serverless%0A%20%20%20%20explorer%20cannot%20solve%20that%20system%20again%20for%20every%20slider%20move%2C%20but%20it%20can%0A%20%20%20%20keep%20the%20baseline%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24%20(or%2C%20in%20practice%2C%20the%20few%20rows%20of%0A%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7Be%7D'%5Cmathbf%7BL%7D%24%20it%20needs)%20and%20*update*%20it.%20A%20scenario%20that%20changes%0A%20%20%20%20the%20coefficients%20in%20%24k%24%20columns%20of%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20is%20a%20rank-%24k%24%20change%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathbf%7BA%7D_s%20%3D%20%5Cmathbf%7BA%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7BU%7D%5Cmathbf%7BV%7D'%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cmathbf%7BU%7D%24%20(%24n%20%5Ctimes%20k%24)%20holds%20the%20changes%20to%20those%20columns%20and%0A%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7BV%7D%24%20(%24n%20%5Ctimes%20k%24)%20picks%20them%20out%20of%20the%20identity%20matrix.%20The%0A%20%20%20%20Woodbury%20matrix%20identity%20(the%20Sherman%E2%80%93Morrison%20formula%20when%20%24k%20%3D%201%24)%20gives%20the%20new%20inverse%20from%20the%20old%20one%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24(%5Cmathbf%7BI%7D%20-%20%5Cmathbf%7BA%7D%20-%20%5Cmathbf%7BU%7D%5Cmathbf%7BV%7D')%5E%7B-1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%3D%20%5Cmathbf%7BL%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7BU%7D%5C%2C(%5Cmathbf%7BI%7D_k%20-%20%5Cmathbf%7BV%7D'%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7BU%7D)%5E%7B-1%7D%5C%2C%5Cmathbf%7BV%7D'%5Cmathbf%7BL%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Only%20a%20%24k%20%5Ctimes%20k%24%20system%20is%20solved%2C%20and%20%24k%24%20is%20the%20number%20of%20changed%0A%20%20%20%20columns%3A%20here%201%2C%20whatever%20the%20size%20of%20the%20economy.%20Applied%20to%20the%0A%20%20%20%20scenario's%20final%20demand%2C%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D_s%20%3D%20%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7By%7D_s%20%2B%0A%20%20%20%20%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7BU%7D%5C%2C(%5Cmathbf%7BI%7D_k%20-%20%5Cmathbf%7BV%7D'%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7BU%7D)%5E%7B-1%7D%5C%2C%0A%20%20%20%20%5Cmathbf%7BV%7D'%5Cmathbf%7BL%7D%5Cmathbf%7By%7D_s%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20update%20is%20exact%20algebra%2C%20but%20it%20takes%20a%20different%20numerical%20route%0A%20%20%20%20from%20the%20full%20solve%2C%20so%20the%20harness%20below%20checks%20that%20both%20agree.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20low_rank_factors(A%2C%20A_s)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22(U%2C%20V)%20with%20A_s%20%3D%20A%20%2B%20U%20V'%3A%20U%20holds%20the%20changed%20columns%20of%20A%2C%20V%20the%20matching%20columns%20of%20I.%22%22%22%0A%20%20%20%20cols%20%3D%20np.flatnonzero((A_s%20!%3D%20A).any(axis%3D0))%0A%20%20%20%20return%20(A_s%20-%20A)%5B%3A%2C%20cols%5D%2C%20np.eye(len(A))%5B%3A%2C%20cols%5D%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20woodbury_output(L%2C%20U%2C%20V%2C%20y)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Total%20output%20for%20A%20%2B%20U%20V'%20from%20the%20baseline%20Leontief%20inverse%20L%2C%20via%20the%20Woodbury%20identity.%22%22%22%0A%20%20%20%20x%20%3D%20L%20%40%20y%0A%20%20%20%20if%20U.shape%5B1%5D%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x%0A%20%20%20%20LU%20%3D%20L%20%40%20U%0A%20%20%20%20return%20x%20%2B%20LU%20%40%20np.linalg.solve(np.eye(U.shape%5B1%5D)%20-%20V.T%20%40%20LU%2C%20V.T%20%40%20x)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20A_s%2C%20x_s%2C%20y_s)%3A%0A%20%20%20%20U%2C%20V%20%3D%20low_rank_factors(A%2C%20A_s)%0A%20%20%20%20x_w%20%3D%20woodbury_output(np.linalg.inv(np.eye(len(A))%20-%20A)%2C%20U%2C%20V%2C%20y_s)%0A%20%20%20%20woodbury_gap%20%3D%20np.abs(x_w%20-%20x_s).max()%20%2F%20np.abs(x_s).max()%0A%20%20%20%20return%20U%2C%20woodbury_gap%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(U%2C%20mo%2C%20woodbury_gap)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22This%20scenario%20changes%20**%7BU.shape%5B1%5D%7D**%20column(s)%20of%20A%2C%20so%20the%20update%20solves%20a%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7BU.shape%5B1%5D%7D%20%C3%97%20%7BU.shape%5B1%5D%7D%20system.%20Largest%20relative%20difference%20from%20the%20full%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22re-solve%3A%20**%7Bwoodbury_gap%3A.1e%7D**.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20The%20harness%20check%0A%0A%20%20%20%20A%20model%20can%20return%20a%20plausible-looking%20number%20and%20still%20be%20wrong.%20The%0A%20%20%20%20first%2C%20second%20and%20fourth%20checks%20follow%20those%20that%20a%20scenario%20explorer%0A%20%20%20%20built%20on%20the%20RaMa-Scene%20engine%20runs%20next%20to%0A%20%20%20%20every%20scenario.%20Its%20sign%20check%20is%20narrower%3A%20every%20scenario%20there%20is%20a%0A%20%20%20%20cut%2C%20and%20no%20total%20may%20rise.%20The%20Leontief%20identity%20is%20a%20direct%20check%20of%0A%20%20%20%20the%20solve%2C%20and%20the%20Woodbury%20check%20tests%20the%20update%20from%20section%205.%20Here%0A%20%20%20%20all%20five%20rerun%20each%20time%20you%20move%20a%20slider.%0A%0A%20%20%20%20*%20**0%20%25%20control**%3A%20a%20scenario%20that%20changes%20nothing%20must%20give%20exactly%20the%20baseline.%0A%20%20%20%20*%20**Per-region%20recomputation**%3A%20emissions%20by%20region%2C%20recomputed%20by%20a%0A%20%20%20%20%20%20different%20route%20(explicit%20inverse%2C%20one%20region%20at%20a%20time%2C%20compensated%0A%20%20%20%20%20%20summation)%2C%20agree%20with%20the%20main%20calculation%20to%201e-9.%0A%20%20%20%20*%20**Leontief%20identity**%3A%20the%20solved%20output%20satisfies%0A%20%20%20%20%20%20%24(%5Cmathbf%7BI%7D%20-%20%5Cmathbf%7BA%7D)%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7By%7D%24%2C%20up%20to%20rounding%20(around%201e-16%20to%201e-15%20relative).%0A%20%20%20%20*%20**Effect%20sign**%3A%20with%20only%20non-negative%20numbers%2C%20raising%20a%20coefficient%0A%20%20%20%20%20%20or%20a%20demand%20can%20only%20raise%20the%20footprint%2C%20and%20lowering%20can%20only%20lower%20it.%0A%20%20%20%20*%20**Woodbury%20update%20equals%20re-solve**%3A%20the%20output%20updated%20from%20the%0A%20%20%20%20%20%20baseline%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24%20agrees%20with%20the%20full%20solve%20to%201e-12%20relative.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20harness_checks(A%2C%20y%2C%20e%2C%20A_s%2C%20y_s%2C%20coefficient_pct%3D0.0%2C%20demand_pct%3D0.0)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Self-checks%20on%20a%20baseline%20(A%2C%20y)%20and%20a%20scenario%20(A_s%2C%20y_s)%3A%20%7Bname%3A%20(passed%2C%20detail)%7D.%22%22%22%0A%20%20%20%20checks%20%3D%20%7B%7D%0A%0A%20%20%20%20A_0%2C%20y_0%20%3D%20apply_scenario(A%2C%20y)%20%20%23%20every%20change%200%20%25%0A%20%20%20%20control%2C%20baseline%20%3D%20footprint(e%2C%20A_0%2C%20y_0)%2C%20footprint(e%2C%20A%2C%20y)%0A%20%20%20%20checks%5B%220%20%25%20control%20equals%20baseline%22%5D%20%3D%20(control%20%3D%3D%20baseline%2C%20f%22%7Bcontrol!r%7D%20vs%20%7Bbaseline!r%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20x_s%20%3D%20leontief_output(A_s%2C%20y_s)%0A%20%20%20%20engine%20%3D%20emissions_by_region(e%2C%20x_s)%0A%20%20%20%20L%20%3D%20np.linalg.inv(np.eye(len(A_s))%20-%20A_s)%0A%20%20%20%20per_sector%20%3D%20e%20*%20(L%20%40%20y_s)%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len(A_s)%20%2F%2F%20len(engine)%0A%20%20%20%20direct%20%3D%20%5Bmath.fsum(per_sector%5Br%20*%20size%20%3A%20(r%20%2B%201)%20*%20size%5D)%20for%20r%20in%20range(len(engine))%5D%0A%20%20%20%20worst%20%3D%20max(abs(g%20-%20d)%20%2F%20abs(d)%20for%20g%2C%20d%20in%20zip(engine%2C%20direct))%0A%20%20%20%20checks%5B%22per-region%20recomputation%20agrees%22%5D%20%3D%20(worst%20%3C%201e-9%2C%20f%22largest%20relative%20difference%20%7Bworst%3A.1e%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20residual%20%3D%20np.abs((np.eye(len(A_s))%20-%20A_s)%20%40%20x_s%20-%20y_s).max()%20%2F%20np.abs(y_s).max()%0A%20%20%20%20checks%5B%22Leontief%20identity%20(I%20-%20A)%20x%20%3D%20y%22%5D%20%3D%20(residual%20%3C%201e-12%2C%20f%22relative%20residual%20%7Bresidual%3A.1e%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20change%20%3D%20footprint(e%2C%20A_s%2C%20y_s)%20-%20baseline%0A%20%20%20%20signs%20%3D%20%7Bnp.sign(coefficient_pct)%2C%20np.sign(demand_pct)%7D%20-%20%7B0%7D%0A%20%20%20%20if%20len(signs)%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20expected%20%3D%20signs.pop()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20checks%5B%22effect%20sign%20as%20expected%22%5D%20%3D%20(np.sign(change)%20%3D%3D%20expected%2C%20f%22change%20%7Bchange%3A%2B.3g%7D%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20checks%5B%22effect%20sign%20as%20expected%22%5D%20%3D%20(True%2C%20%22not%20applicable%20(no%20change%2C%20or%20changes%20pull%20both%20ways)%22)%0A%0A%20%20%20%20U%2C%20V%20%3D%20low_rank_factors(A%2C%20A_s)%0A%20%20%20%20x_w%20%3D%20woodbury_output(np.linalg.inv(np.eye(len(A))%20-%20A)%2C%20U%2C%20V%2C%20y_s)%0A%20%20%20%20gap%20%3D%20np.abs(x_w%20-%20x_s).max()%20%2F%20np.abs(x_s).max()%0A%20%20%20%20checks%5B%22Woodbury%20update%20equals%20re-solve%22%5D%20%3D%20(gap%20%3C%201e-12%2C%20f%22rank%20%7BU.shape%5B1%5D%7D%2C%20relative%20difference%20%7Bgap%3A.1e%7D%22)%0A%20%20%20%20return%20%7Bname%3A%20(bool(ok)%2C%20detail)%20for%20name%2C%20(ok%2C%20detail)%20in%20checks.items()%7D%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A%2C%20A_s%2C%20coefficient_pct%2C%20demand_pct%2C%20e%2C%20mo%2C%20y%2C%20y_s)%3A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20harness_checks(A%2C%20y%2C%20e%2C%20A_s%2C%20y_s%2C%20coefficient_pct.value%2C%20demand_pct.value)%0A%20%20%20%20_all%20%3D%20all(ok%20for%20ok%2C%20_%20in%20_checks.values())%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Harness%20check%3A%20%7B'all%20pass'%20if%20_all%20else%20'FAIL'%7D**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22check%22%3A%20name%2C%20%22result%22%3A%20%22pass%22%20if%20ok%20else%20%22FAIL%22%2C%20%22detail%22%3A%20detail%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20name%2C%20(ok%2C%20detail)%20in%20_checks.items()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selection%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pagination%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20the%20real%20engine%20adds%0A%0A%20%20%20%20%5BRaMa-Scene%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2FCMLPlatform%2Framascene)%20runs%20the%20same%0A%20%20%20%20algebra%20on%20EXIOBASE%3A%2049%20regions%20(44%20countries%20and%205%20rest-of-world%20regions)%0A%20%20%20%20%C3%97%20200%20products%20%3D%209%20800%20sectors%2C%20so%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20has%20about%2096%20million%0A%20%20%20%20cells.%20Its%20test%20suite%20also%20compares%20results%20with%20reference%20values%0A%20%20%20%20computed%20independently%20in%20Octave.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Reflect%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22-%20Set%20a%20coefficient%20change%20and%20a%20demand%20change%20with%20opposite%20signs.%20Why%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'does%20the%20sign%20check%20then%20say%20%22not%20applicable%22%3F'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Show%20answer%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20check%20relies%20on%20all%20numbers%20being%20non-negative.%20Then%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24%20is%0A%20%20%20%20non-negative%20too%2C%20so%20raising%20a%20coefficient%20or%20a%20demand%20can%20only%20raise%20the%0A%20%20%20%20footprint%2C%20and%20lowering%20one%20can%20only%20lower%20it.%20With%20opposite%20signs%2C%20one%0A%20%20%20%20change%20pushes%20the%20footprint%20up%20and%20the%20other%20pushes%20it%20down.%20The%20net%0A%20%20%20%20direction%20depends%20on%20how%20large%20each%20effect%20is%2C%20so%20no%20sign%20is%20guaranteed%0A%20%20%20%20and%20the%20check%20does%20not%20judge%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22-%20Make%20Asian%20cement%20use%2050%20%25%20less%20Asian%20electricity.%20Why%20do%20the%20emissions%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22of%20Europe%20and%20the%20Americas%20change%20too%2C%20although%20their%20coefficients%20did%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22not%3F%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Show%20answer%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%20is%20dense%3A%20every%20sector%20buys%20from%20sectors%20in%20every%20region.%20Asian%0A%20%20%20%20cement%20now%20needs%20less%20Asian%20electricity%2C%20so%20Asia%20makes%20less%20electricity.%0A%20%20%20%20That%20in%20turn%20needs%20fewer%20inputs%2C%20from%20every%20region%2C%20and%20so%20on%20through%20all%0A%20%20%20%20rounds%20of%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BI%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7BA%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7BA%7D%5E2%20%2B%20%5Cdots%24.%0A%20%20%20%20Total%20output%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%24%20falls%20in%20sectors%20far%20from%20the%20change%2C%20and%0A%20%20%20%20emissions%20are%20%24%5Chat%7B%5Cmathbf%7Be%7D%7D%5Cmathbf%7Bx%7D%24%2C%20so%20they%20fall%20in%20every%20region%2C%0A%20%20%20%20Europe%20and%20the%20Americas%20included.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A